SUMAS DE RIEMMAN

La integral de Riemann está basada en la llamada Medida de Jordan, y se expresa como el límite de una suma de Riemann. Vayamos por partes para entender esto,

Sea P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo, tal que

a = x₁ < x₂ < x₃ < ... < x_n < x_n+1 = b

• La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
S(f, P) = c_j (x_j - x_j-1)donde c_j es el supremo de f(x) en el intervalo [x_j-1, x_j]
 
La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye
 
 
 
• La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
I(f, P) = d_j (x_j - x_j-1)
donde d_j es el ínfimo de f(x) en el intervalo [x_j-1, x_j].
La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta.

    , con

AREA BAJO LA CURVA

ILATE !

ILATE es una nueva tecnica para saber de forma mas sencilla cual es la u y cual es la v en la funcion para derivar, disfrutenlo !

INTEGRACION POR PARTES

El metodo integracion por partes permite calcular la integral de un producto  de dos funciones aplicando la formula:

las funciones logaritmicas, "arcos" y polinimicas se eligen como u y las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'

EJEMPLO

• 

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

• 

 

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

INTEGRACION POR SUSTITUCION

el metodo de integracion por sustitucion se basa en la derivada de la funcion compuesta

para cambiar de variable identificamos una parte de llo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral mas sencilla

pasos para integrar por cambio de variable

• se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos terminos

se despeja u y dx, sustituyendo en la integral

• si la integrall resultante es mas sencilla, integramos

• se vuelve a la variable inicial

EJEMPLO

DERIVADAS

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

• Derivada de una constante

f (x)= -2
f '(x) = 0

• derivada de una funcion potencial: es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos

f(x)= x^6
f '(x)= 6 x^5

• derivada de una funcion logaritmica

f(x)= ln (x)
f '(x)= 1/x

• derivada de una funcion exponencial con base distinta del numero e

f(x)= 9^x
f '(x)= 9^x ln 9

EJEMPLO

• calcular la derivada de la funcion f (x)= x- cos x

• calcular la derivada de f(x)= x^3 - sen x + ln |x| en el punto x= pi/3