SUMAS DE RIEMMAN

La integral de Riemann está basada en la llamada Medida de Jordan, y se expresa como el límite de una suma de Riemann. Vayamos por partes para entender esto,

Sea P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo, tal que

a = x₁ < x₂ < x₃ < ... < x_n < x_n+1 = b

• La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
S(f, P) = c_j (x_j - x_j-1)donde c_j es el supremo de f(x) en el intervalo [x_j-1, x_j]
 
La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye
 
 
 
• La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
I(f, P) = d_j (x_j - x_j-1)
donde d_j es el ínfimo de f(x) en el intervalo [x_j-1, x_j].
La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta.

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